** Variable aléatoire, arbre, événement et espérance

Les élèves du conseil de la vie lycéenne (CVL) décident de concevoir un jeu pour la journée Portes ouvertes de leur lycée.

Pour jouer, chaque participant devra obligatoirement visiter l'une des salles présentant les différentes filières, matières et spécialités du lycée. En effet, à l'issue de cette visite chaque participant recevra un ticket avec lequel il pourra jouer. Le jeu se déroulera de la façon suivante :

• Le joueur pioche une carte dans un jeu de \(52\) cartes. Si la carte est un as, le jeu s'arrête et le joueur reçoit \(5\) jetons.
  
• Si le joueur n'a pas obtenu un as, il lance deux dés cubiques équilibrés. Si la somme des nombres obtenus est égale à \(9\) ou plus, le jeu s'arrête et le joueur reçoit \(3\) jetons.
  
• Si le joueur n'a pas obtenu \(9\) ou plus, alors le jeu s'arrête et le joueur ne reçoit aucun jeton.
  

1. Tracer l'arbre de probabilités reflétant la situation.
On notera \(\text{A}\) l'événement « piocher un as » et \(\text{N}\) l'événement « obtenir une somme égale à \(9\) ou plus ».

2. On considère la variable aléatoire \(X\) qui, à chaque tour du jeu, associe le nombre de jetons gagnés par le joueur.
    a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\).
    b. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
    c. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter celle-ci dans le contexte de l'exercice.

Une fois le tour de jeu terminé, le visiteur peut visiter une autre salle pour avoir droit à un autre ticket et pour rejouer. Par ailleurs, les jetons obtenus par les joueurs permettent de gagner une viennoiserie.

3. Sachant qu'il faut \(5\) jetons pour obtenir un pain au chocolat, combien de salles, en moyenne, un joueur devra-t-il visiter pour en obtenir un ?